قضيه تالس

در هندسه ،قضیه تالس این مطلب را بیان میکند که اگر A و B و C نقاط روی دایره باشند و خط AC ،قطر دایره باشد آن وقت زاویه ABC یک زاویه قائم خواهد بود. به بیان دیگر مرکزدایره محیطی یک مثلث روی یکی از اضلاع مثلث قرار میگیرد اگر وتنها اگرآن مثلث قائم الزاویه باشد.

اثبات

فرض کنیم O مرکز دایره باشد در آن موقع OA=OB=OC
به این ترتیب OAB و OBC مثلث متساوی الساقین خواهند بود.در نتیجه زوایای OCB=OBC و BAO=ABO.
فرض کنیم Y=BAO و X=OBC ، چون جمع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است پس

2Y+Z=180

2X+Q=180

همچنین میدانیم Z+Q=180 .حال اگر دو رابطه اول را با هم جمع و رابطه سوم را از آنها کم نماییم خواهیم داشت:

2Y+Z+2X+Q-(Z+Q)=180

پس خواهیم داشت:

Z+Q=90

تاریخچه

تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را میدانستند ولی آنها نتوانسته بودند اثباتی برای آن بیان کنند. چون این قضیه اولین بار توسط تالس به اثبات رسید به نام او نیز معروف شد.البته تالس با استفاده از تعریف مثلث متساوی الساقین و نیز علم به این موضوع که جمع زوایای یک مثلث، 180 درجه است ،این قضیه را اثبات کرد.

همچنین ببینید:

تالس
قضیه تالس در مثلث
قضیه تالس در فضا
قضیه تالس در مورد خطوط موازی

منبع:رشد

[ بازدید : 505 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

http://0up.ir/do.php?filename=178726660948150.pdf

[ بازدید : 181 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

---

[ بازدید : 178 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

لئونارد اویلر (به آلمانی: Leonhard Euler)(زاده ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ – درگذشته ۱۸ سپتامبر ۱۷۸۳) از ریاضیدان و فیزیکدان برجسته سوئیسی بود. او کشف‌های بسیار مهمی در زمینه‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال و نظریه گراف داشته‌است. اویلر همچنین اصلاحات مهمی در زمینه‌های تجزیه و تحلیل ریاضی مانند مفهوم تابع ریاضی انجام داده‌است^[۳] و برای کارهای خود در مکانیک، دینامیک سیالات، اپتیک و نجوم شهرت دارد.

اویلر بیشتر سال‌های زندگی خود را در شهر سن پترزبورگ در روسیه و شهر برلین در پادشاهی پروس به سر برد. او یکی از برجسته‌ترین ریاضیدانان سدهٔ ۱۸ و یکی از بزرگترین دانشمندان تمام دوران شناخته شده‌است.

زندگی نامه

کودکی و نوجوانی

لئونارد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ در شهر بازل در کشور سوییس متولد شد. پدرش از کشیشان پیروکالون بود و میل داشت پسرش جانشین او شود، ولی اویلر بر خلاف میل او در دانشگاه بازل به مطالعه علوم الهیات پرداخت. پدر اویلر دروس مقدماتی از جمله ریاضیات را به او آموزش داد. اویلر بعداٌ چند سالی را در بازل به سر برد و در یک دبیرستان (گومنازیوم) معمولی محلی به تحصیل پرداخت. در آن دبیرستان درس ریاضیات اصلاٌ تدریس نمی‌شد و در نتیجه اویلر این دانش را به طور خصوصی نزد ریاضیدانی به نام یوهان بورکهارت آموخت.

در سال ۱۷۲۰ اویلر که هنوز ۱۴ سال بیشتر نداشت، وارد دانشکده ادب و هنر دانشگاه بازل شد تا پیش از کسب تخصص، دانش عمومی خود را تکمیل کند. از جمله استادان او یوهان یکم برنوس بود که در کرسی ریاضیات جانشین برادرش یاکوب شده بود. اویلر در سال ۱۷۲۲ معادل درجه کارشناسی را در ادبیات، و در ۱۷۲۳ مدرک کارشناسی ارشد را در رشته فلسفه دریافت کرد.

جوانی

اویلر در ۱۸ سالگی پژوهشهای مستقلی را آغاز کرد. نخستین کار او که در سال ۱۷۲۶ در یک نشریه علمی منتشر شد، مقاله کوتاهی درباره رسم منحنی‌های هم‌زمان بود. سپس در سال ۱۷۲۷ در همان نشریه مقاله‌ای درباره مسیرهای متقابل جبری انتشار داد. برای نخستین بار اویلر در ۱۹ سالگی شهرت علمی کسب کرد؛ در این سن بود که فرهنگستان پاریس حل مشکلی را در باره ساختمان دکل کشتی به مسابقه گذاشته بود، و مقاله اویلر در این مورد مقام دوم را احراز نمود.

در پائیز ۱۷۲۶ از اویلر دعوت شد که به عنوان دستیار فیزیولوژی در شهر سن پترزبورگ در روسیه بکار مشغول شود. در ۱۷۲۷ از بازل به سن پترزبورگ رفت در آنجا بیدرنگ این بخت مساعد را یافت که در رشته واقعی خود کار کند و به‌عنوان عضو وابسته فرهنگستان دربخش ریاضیات منصوب شد. در ۱۷۳۱ به استادی فیزیک رسید و در ۱۷۳۳ که دانیل برنولی به عنوان استاد ریاضیات به بازل برگشت، اویلر جانشین وی شد.

او از ۱۷۲۷ گزارش‌هایی در باره پژوهشهایش به جلسات فرهنگستان می‌فرستاد او آنها را در سال ۱۷۲۹ در جلد دوم صورت جلسات فرهنگستان (گزارشهای فرهنگستان اپراتوری علوم پتروگراد) انتشار داد.

اویلر طی ۱۴ سالی که در سن پترزبورگ بود به کشفهای درخشانی در زمینه‌هایی چون تحلیل ریاضی، نظریه اعداد و مکانیک دست یافت. تا سال ۱۷۴۱ بین هشتاد تا نود اثر برای انتشار آماده کرده بود که ۵۵ تای آنها از جمله دو جلد «مکانیک» را منتشر ساخت.

اویلر در آن زمان عضو فرهنگستان‌های شهرهای سن پترزبورگ در روسیه و برلین در آلمان بود. سپس در سال ۱۷۴۹ به عضویت انجمن پادشاهی لندن، در سال ۱۷۵۳ به عضویت انجمن فیزیک و ریاضیات بازل، و در سال ۱۷۵۵ به عضویت فرهنگستان علوم پاریس نیز انتخاب گردید.

اویلر در ۱۷۴۱ پس از ۱۴ سال اقامت در روسیه به شهر برلین در آلمان رفت و ۲۵ سال بعد را در آنجا سپری کرد. در عین حال، هنوز عضو فعال هر دو فرهنگستان برلین و سن پترزبورگ بود. وی در تبدیل انجمن علوم سابق به یک فرهنگستان بزرگ که در سال ۱۷۴۴ رسماٌ با نام فرانسوی فرهنگستان پادشاهی علوم و ادبیات برلین بنیاد نهاده شد، فعالیت فراوان داشت. طی این دوره اویلر به تنوع پژوهش‌های خود بسیار افزود در رقابت با دالامبر و دانیل برنولی دانش فیزیک ریاضی را پی‌ریزی کرد، و در پیشبرد نظریه حرکت ماه و سیارات از رقیبان کلرو و دالامبر بود.

در همان زمان نظریه حرکت جامدات امکان ساخت ابزار ریاضی هیدرودینامیک را فراهم آورد. وی هندسه دیفرانسیل سطوح را ابداع کرد و به شدت درباره نورشناسی برق و مغناطیس به پژوهش پرداخت. همچنین درباره مسائل فناوری نظیر ساختن دوربین‌های شکستنی بیرنگ، تکمیل توربین آبی زگنر و نظریه چرخ‌دنده‌ها به تفکر پرداخت.

شمار آثار اویلر در دوره اقامت در برلین از ۳۸۰ کمتر نبود که از میان ۲۷۵ اثر انتشار یافتند که از جمله آنها می‌توان به تعدادی کتاب مفصل تک‌نگاشتی در باره حساب جامع و فاضل تغییرات، کتابی بنیادین در باره محاسبه مدار اجرام آسمانی، کتابی درباره توپخانه و پرتاب گلوله، کتاب مقدماتی به تحلیل نامتناهی، رساله‌ای در کشتی‌سازی و دریانوردی که صورت آغازین آن در سن پترزبورگ تهیه شده بود، اشاره کرد.

نخستین نظریه او درباره حرکت ماه و اصول حساب دیفرانسیل در سه کتاب آخر او به هزینه فرهنگستان سن پترزبورگ انتشار یافتند. در آخر رساله‌ای بود در باره مکانیک جامدات به نام «نظریه حرکت اجسام جامد» (۱۷۵۶). رساله مشهور «نامه‌هایی به یک شاهزاده خانم آلمانی در باره موضوعهای مختلف فیزیک و فلسفه» که در واقع درس‌هایی بود که اویلر به یکی از بستگان پادشاه پروس داده بود، تا پیش از بازگشت اویلر به سن پترزبورگ انتشار نیافتند. این کتاب موفقیتی بی‌نظیر یافت و ۱۲ بار به زبان اصلی تجدید چاپ گردید و به بسیاری زبانهای دیگر نیز ترجمه شد.

نظریات

اویلر همچنان به مطالعات ریاضی خود ادامه می‌داد و رفقایش او را روح آنالیز ریاضی می‌دانستند. آراگو در باره اویلر چنین گفته‌است:

اویلر با همان سهولتی که انسان نفس می‌کشد محاسبات ریاضی را انجام می‌دهد.

اویلر به معنای گسترده‌ای که در سده هجدهم برای کلمه هندسه کار می‌رفت هندسه‌دان بود. در کار او ریاضیات بستگی نزدیکی با کاربرد سایر علوم با مسائل فناوری و با زندگی عمومی داشت. در آثار ریاضی اویلر تحلیل ریاضی جایگاه نخست را دارد؛ هفده جلد از مجموعه آثار او در این زمینه‌است. او با کشفیات متعدد به تحلیل ریاضی یاری داد. نحوه عرضه آن در کتابهای درسی خود را منظم ساخت در بنیادگذاری رشته‌های متعدد ریاضی نظیر حساب جامع و فاضل تغییرات، نظریه معادلات دیفرانسیل، نظریه مقدماتی توابع متغیرهای مختلط و نظریه توابع خاص بی اندزه کمک کرد. وی بسیاری از قراردادهای کنونی علائم ریاضی را وارد میدان کرد.

کتابها و مقالات

کشف‌هایی که در نیمه سده هجدهم در زمینه تحلیل ریاضی انجام گرفته بود به شیوه‌ای منظم به‌وسیله اویلر در مجموعه سه کتاب زیر خلاصه شده‌است:

• مدخلی بر تحلیل نامتناهی (۱۷۴۸)
• روشهای حساب دیفرانسیل (۱۷۵۵)
• روشهای حساب انتگرال (‎۱۷۶۸-۱۷۷۰)

او هر روز اکتشافی به اکتشافات خود می‌افزود و تعدا آنها آنقدر زیاد است که حتی امروزه موفق به چاپ کامل آثار او نگردیده‌اند.

وی سه روز را به حل مسئله‌ای که از طرف آکادمی مطرح شده بود گذراند و پس از آن به بستر بیماری افتاد. در این بیماری یک چشم خود را از دست داد در سن ۶۰ سالگی بینایی چشم دیگرش هم از دست رفت. گر چه چشم او را با موفقیت عمل کردند ولی زخم آن دچار عفونت شد و برای همیشه چشمان خود را از دست داد. اویلر در ۱۸ سپتامبر ۱۷۸۳ هنگامی که مشغول محاسبه مسیر سیاره اورانوس بود ناگهان با گفتن کلمه «من مُردم» زندگی را بدرود گفت.

جستارهای وابسته

• پروژه اویلر
• فهرست چیزهایی که به افتخار لئونارد اولر نامگذاری شده‌است
• منبع:ویکی پدیا

[ بازدید : 175 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

مشتق گیری و مشتق پذیری

در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

عکس پیدا نشد

بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

همچنین ببینید:

• حد
• پیوستگی
• مشتق توابع
• کاربرد مشتق
• مشتق جزئی

مشتق سوئی

• معادلات دیفرانسیل
• انتگرال

منابع خارجی www.mathworld.com

www.wikipedia.com

منبع:رشد

[ بازدید : 165 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

دانلود -376 کیلوبایت

منبع:http://miniclub.blogfa.com/cat-48.aspx

[ بازدید : 172 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

[ بازدید : 224 ] [ امتیاز : 4 ] [ نظر شما : ]

. معادله نسبیت عام

معادله بالا بخشی از توصیف نظریه نسبیت عام توسط آلبرت اینیشتین در سال 1915 میلادی است. این نظریه انقلابی را ایجاد کرد که سبب شد دنیای علم را با نحوه ارتباط مشخصه هندسی کائنات با فضا و زمان توضیح بدهد!

ماریو لیویو منجم و ستاره شناس و اختر فیزیکدان برجسته موسسه علوم تلسکوپی در آمریکا بیان می کند: «قسمت سمت راست معادله انرژی کائنات را نشان می دهد (شامل انرژی ماده تاریک که نقش بسزایی در تعیین سرعت کهکشان ها دارد) و سمت چپ معادله بعد هندسی فضا-زمان را توصیف می کند. این معادله اینشتین ثابت می کند که جرم و ماده هندسه فضا را مشخص می کند و در نهایت چیزی را آشکار می سازد که ما آن را جاذبه می نامیم!»

کایل کرانمر فیزیکدان دانشگاه نیویورک نیز می گوید: «با استفاده از این رابطه چرخش اجرام به دور اجرام سنگین تر و همچنین بسیاری دیگر از پدیده های نجومی و فیزیکی نظیر سیاهچاله ها را می توان اثبات نمود».

2. مدل استاندارد

یکی دیگر از معادلات بسیار مهم و بنیادی فیزیک معادله مدل استاندارد است که توصیف ذرات بنیادی جهان حاضر است. این معادله بر گرفته از یک معادله کلی تر به نام معادله استاندارد لاگرانژ (ریاضیدان و ستاره شناس قرن 18 فرانسه) است. لنس دیکسون متخصص برجسته شتاب دهنده کالیفرنیا می گوید: «این معادله به صورت موفقیت آمیزی تمامی ذرات بنیادین که تا کنون کشف شده اند نظیر ذره هیگز را بیان می کند اما تاکنون این معادله موفق نشده است که گرانش را توصیف نماید».

3. قضیه اساسی حساب

در حالی که 2 معادله پیشین در مورد ذرات تشکیل دهنده هستی بوده است اما معادله حساب ستون فقرات ریاضیات محسوب می شود که در خلاصه این محاسبات در 2 مفهوم انتگرال گیری و مشتق گیری خلاصه می گردد.

قضیه اساسی حساب در قرن های اولیه بشریت نیز وجود داشته و پایه ریزی شده است اما در قرن 17 توسط نیوتن گسترش داده شد. وی از این قضیه برای توصیف حرکت سیارات به دور خورشید استفاده می کرده است.

4. قضیه فیثاغورث

معادله «اودی یا گودی» که به قضیه فیثاغورث مشهور است. این قضیه می گوید که در مثلث قائم الزاویه مجذور وتر برابر است با مجموع مجذور اضلاع مجاور وتر!

داینا تایمینا از دانشگاه کرنل می گوید که: این قضیه جزء اولین روابطی بود که من را بسیار شگفت زده کرد که چگونه می توان هندسه را با روابط ریاضیاتی ترکیب نمود!»

5. معادله اویلر

این معادله به ظاهر ساده حقایق بسیار زیبایی را در مورد کره ها بیان می کند.

کالین آدامز از کالج ویلیامز در ایالت ماساچوست می گوید: «این معادله بیان می دارد که اگر شما سطح یک کره را به یک چندوجهی تبدیل کنید به طوری کهF بیانگر تعداد وجه ها و E بیانگر تعداد لبه ها و V بیانگر تعداد رئوس باشد آنگاه همواره این معادله برقرار است: V-E+F=2

این رابطه برای هر نوع چندوجهی برقرار می باشد مانند هرم های 8 وجهی و غیره. حقیقت جالب این است که این معادله می تواند به ما اطلاعاتی در مورد ساختار اولیه کره ها قرار بدهد».

6.نسبیت خاص

معادله نسبیت خاص انیشتین بیان می دارد که مفاهیم فضا و زمان مفاهیمی مطلق نیستند بلکه به سرعت بیننده وابسته هستند. معادله بالا نشان می دهد که چگونه کاهش زمان یک رویداد با سرعت بیننده وابسته می باشد. بیل مورای از محققان برجسته شتاب دهنده سرن در ژنو می گوید: «برای یک دانشجوی قوی حل یک معادله سخت ریاضی و یا انتگرال های پیشرفته مهم نیست بلکه چیزی که مهم است نحوه نگاه کردن به پدیده های مختلف فیزیکی و ریاضیاتی و درک مفاهیم آن است و بتواند این مفاهیم را با جهان خارج ارتباط داد».

7. 0.99999999 = 1

این معادله نماد این است که مقادیر مطلق در جهان وجود ندارد. این مطلق نبودن خود را در ساده ترین شکل و پایه ترین عدد یعنی 1 نشان می دهد که 1 برابر است با حد بینهایت 9 و مقدار مطلق 1 وجود ندارد!

8.معادله اویلر لاگرانژ و قضیه نوتر

کرانمر از دانشگاه نیویورک می گوید: «این معادله هر چند خلاصه است اما مسایل بسیاری را نشان می دهد. این معادله انقلاب بزرگی را در مکانیک کوانتومی ایجاد کرده است.

L در این معادله که اول کلمه لاگرانژ است پارامتری است که برای اندازه گیری انرژی سیستم به کار می رود.

قضیه دیگری نیز در رابطه با این رابطه وجود دارد به نام قضیه نوتر که می گوید اگر شما در سیستم خود تقارن داشته باشید امکان ذخیره سازی انرژی بهتر وجود خواهد داشت. از این قانون در طراحی های مکانیکی و فضاپیماها استفاده می شود».

9.معادله کالان-سیمانزیک

معادله کالان سیمانزیک یک معادله بسیار حیاتی در فیزیک کوانتوم است. مت استراسلر فیزیکدان نظری دانشگاه راتجرس می گوید: «این معادله نشان می دهد که انتظارات ساده چقدر راحت در دنیای کوانتوم به شکست می انجامد! این معادله به فیزیکدانان بسیار کمک می کند که بتوانند اندازه جرم های کوانتومی نظیر پروتون و اندازه هسته را مشخص بکنند. معادله کالان سیمانزیک می تواند به ما نشان بدهد که نیروی گرانشی و الکتریکی بین 2 ماده با معکوس مجذور فاصله بین آن 2 متناسب می باشد.

این معادله روابط بسیار پیچیده بین ذرات تشکیل دهنده نوترون ها و پروتون ها (کوارک ها) و نحوه نزدیک ماندن آنها با یکدیگر و در نتیجه تشکیل هسته را به ما توضیح می دهد. این معادله کاربردی بیشتر در ابعاد کوچکتر از پروتون و نوترون به کار می رود و می تواند اثرات ذرات در این ابعاد را برای محققان توصیف نماید».

10. معادله سطح حداقل

فرانک مرگان از کالج ویلیامز می گوید: «این یک معادله غیر خطی است برای همین این معادله با معادلات خطی مشتقات جزیی مشهور نظیر معادلات گرما و معادله صوت و معادله شرودینگر در فیزیک کوانتوم در تضاد می باشد».

11. خط اویلر

گلن ویتنی بنیانگذار موزه ریاضیات در نیویورک می گوید: «معادله ای که نام آن به نام کاشف آن لئونارد اویلر فیزیکدان و ریاضیدان قرن 18 سوییس نام گرفت بیان می دارد که اگر شما در هر مثلثی نقطه مرکز ثقل (نقطه ای که اگر شکل را بر روی یک سوزن قرار بدهیم آنگاه شکل به حال تعادل قرار می گیرد) و نقطه محل برخورد ارتفاع های هر یک از اضلاع و همچنین مرکز دایره محاطی مثلث را مشخص نمایید، همواره این 3 نقطه در حالت های مختلف بر روی یک خط به نام خط اویلر قرار دارد. این قضیه شگفتی ریاضیات را در توصیف الگوهای شگفت آور در اشکال ساده نمایش می دهد».

منبع:http://www.tebyan.net/newindex.aspx?pid=270976

[ بازدید : 237 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

توان (فیزیک)

یکاها

بعد توان انرژی بخش بر زمان است. یکای SI توان همان وات (W) است که برابر است با یک ژول بر ثانیه. از دیگر یکاهای توان می‌توان ارگ بر ثانیه (erg/s)، اسب بخار (hp)، فوت-پوند بر دقیقه و یا یکای بریتانیایی حرارت بر ساعت (BTU/h) را خاطر نشان کرد.

توان متوسط

به عنوان یک نمونه ساده، سوزاندن یک کیلوگرم زغال سنگ خیلی بیشتر از منفجر کردن یک کیلوگرم تی‌ان‌تی انرژی آزاد میکند، ولی چون واکنش تی‌ان‌تی سریع‌تر انرژی آزاد میکند توان خیلی بالاتر از زغال‌سنگ می‌رساند. اگر ΔW مقدار کار انجام شده در مدت زمان Δt باشد، آنگاه توان متوسط اینگونه تعریف میشود:

پس توان لحظه‌ای مقدار حد توان متوسط است هنگامی که Δt به صفر میل می‌کند.

اگر توان P ثابت باشد، مقدار کار انجام شده در مدت زمان Τ اینگونه محاسبه میشود:

اگر انرژی تبدیل شده باشد، نماد E بیشتر از نماد W بکار می‌رود.

توان مکانیکی

توان در سامانه های مکانیکی، آمیزشی از نیرو ها و حرکت است. به طور خاص، توان حاصل‌ضرب نیروی وارد بر جسم در سرعت آن و یا حاصل‌ضرب گشتاور اعمال شده بر یک محور و سرعت زاویه‌ای آن است. توان مکانیکی نیز به صورت مشتق زمان کار تعریف میشود. درمکانیک، کار مکانیکی انجام داده شده توسط یک نیروی F بر روی جسمی که خم С را طی میکند را میتوان با انتگرال خطی زیر پیدا کرد:

به طوری که x متغیر مستقل خم C است و v سرعت در مسیر است. مشتق زمان این معادله، توان لحظه ای را میدهد:

در سامانه های چرخشی توان برابرست با حاصل‌ضرب گشتاور τ و سرعت زاویه‌ای ω.

در سامانه های سیال مانند محرک های هیدرولیکی (اَکتواتُر ها) توان برابرست با حاصل‌ضرب فشار p به پاسکال (N/m²) در آهنگ شارش حجمی Q در متر مکعب بر ثانیه (m³/s):

مزیت مکانیکی

اگر سامانه مکانیکی هیچ تلفاتی نداشته باشد، توان ورودی با توان خروجی برابر است. این اصل به ما فرمول ساده‌ای برای مزیت مکانیکی سامانه میدهد. اگر توان ورودی سامانه، نیروی F_A وارد بر نقطه ای با سرعت v_A و توان خروجی سامانه نیروی F_B وارد بر نقطه ای با سرعت v_B باشد و هیچ تلفاتی در سامانه نداشته باشیم، آنگاه:

و مزیت مکانیکی سامانه اینگونه بدست می‌آید:

روابط مشابهی برای سامانه های چرخشی موجودند:

اگر توان ورودی سامانه دارای گشتاور T_A و سرعت زاویه‌ای ω_A باشد و توان خروجی سامانه دارای گشتاور T_B و سرعت زاویه‌ای ω_B باشد و سامانه هیچ تلفاتی نداشته باشد، آنگاه داریم:

و مزیت مکانیکی سامانه اینگونه بدست می‌آید:

این روابط برای تعریف کارایی بیشینه سیستم از لحاظ نسبت سرعت ها مفیدند. برای فهم بهتر اهمیت آنها این ویکی را بخوانید.

توان در نورشناسی

در نورشناسی، یا رادیومتری، واژه توان گاهی به معنی شار تابشی است (نسبت متوسط جابه‌جایی انرژی توسط امواج الکترومغناطیسی که یکای آن وات است) و یا به توان دیوپتری یک عدسی یا آینه (مقیاسی از توانایی فوکوس کردن نور که یکای آن دیوپتر (m^-1)است: P=1/f) اشاره دارد.

توان الکتریکی

توان لحظه‌ای الکتریکی ای که به مولفه‌ای از مدار میرسد برابرست با:

به طوری که: توان لحظه‌ای است به وات. اختلاف پتانسیل الکتریکی (یا تغییر ولتاژ) بین دو سر مولفه به ولت است. جریان الکتریکی در آمپر است که از مولفه میگزرد.

اگر مولفه یک مقاومت است که نسبت ولتاژ به شدت جریان آن زمان-ناوردا است، آنگاه داریم:

به طوری که مقاومت الکتریکی به اهم است.

توان اوج و چرخه کار

در مورد سیگنال متناوب با دوره‌ی ، مانند زنجیره‌ای از پالس های یک‌ریخت، توان لحظه‌ای نیز تابعی متناوب با دوره است. توان اوج به صورت تعریف میشود. توان اوج همیشه به سادگی قابل اندازه‌گیری نیست، اما اندازه‌گیری توان متوسط معمول تر است. اگر انرژیِ هر پالس را به صورت زیر تعریف کنیم:

آنگاه توان متوسط اینگونه بدست می‌آید:

میتوانیم طول پالس τ را طوری تعریف کنیم که: تا نسبت زیر برقرار باشد. به این نسبت چرخه‌ی کار زنجیره پالس ها میگویند.

انرژی
اصول بنیادی	Energetics انرژی Units قوانین ترمودینامیک توان (فیزیک) Energy transformation
Primary energy	سوخت سنگواره‌ای زغال سنگ نفت خام گاز طبیعی Gravitational energy انرژی جنبشی سوخت هسته‌ای Natural uranium Magnetic energy Radiant energy انرژی خورشیدی انرژی گرمایی توان بادی زیست‌انرژی انرژی آبی انرژی دریایی انرژی زمین‌گرمایی
Energy carriers	Fuel oil آنتالپی گرما کار (فیزیک) الکتریسیته انرژی کشسانی
سیستم‌های انرژی	پالایشگاه نفت نیروگاه سوخت فسیلی تولید هم‌زمان گرما و برق Integrated gasification combined cycle انرژی اتمی نیروگاه هسته‌ای مولد گرما-الکتریکی ایزوتوپی توان خورشیدی سامانه فتوولتاییک Concentrated solar power انرژی حرارتی خورشیدی Solar power tower کوره خورشیدی انرژی بادی نیروگاه بادی High-altitude wind power انرژی برق‌آبی نیروی برق‌آبی Wave farm انرژی کشندی زیست‌توده الکتریسیته زمین‌گرمایی

[ بازدید : 189 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

جذر (root):

جذر به معنی ریشه ، بن و پایه است. در ریاضیات جذر گرفتن عکس عمل به توان رساندن می‌باشد.

عددهایی مانند ۴۹ , ۱۶ , ۴ , … را که جذر دقیق دارند ، مجذور یا مربع کامل می‌نامند.

توجه: در دوره راهنمایی فقط جذر حسابی ( جذر مثبت) عدد a را در نظر می‌گیریم و آنرا با علامت نشان می‌دهیم.

محاسبه مقدار جذر:

ابتدا محاسبه مقدار تقریبی جذر اعداد در کلاس دوم را یاد آوری می‌کنیم:

اگر a , b دو عدد مثبت باشند، جذر عددی مانند N از رابطه زیر بدست می‌آید:

مثال: جذر عدد ۹۵ را تا یک رقم اعشار به دست آورید.

برای محاسبه جذر یک عدد ، روش دقیقتری وجود دارد که به کمک این روش می‌توانیم جذر یک عدد را تا هر تقریبی که بخواهیم ، حساب کنیم . پس از مطالعه چگونگی جذر از کتاب درسی ، جهت فراگیری بهتر به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال ۱: جذر عدد ۱۲۳۸ را با تقریب نقصانی کمتر از یک بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

نکته: در محاسبه جذر تقریبی مقصود از تقریب نقصانی کمتر از یک این است که:

حاصل جذر بدون رقم اعشاری محاسبه و بیان شود.

در این صورت اختلاف جذر گرفته شده با جذر واقعی با دقت کمتر از یک واحد می‌باشد.

مثال ۲: جذر عدد ۱۲۳۸ را تا یک رقم اعشار بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

مثال ۳: جذر عدد ۲/۵۶ را تا دو رقم اعشاری بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

امتحان جذر:

اگر یک جذر را درست انجام داده باشیم:

الف_- دو برابر جذر به اضافه یک از باقیمانده ی جذر بزرگتر است.

ب_- مجذور جذر به اضافه باقیمانده ، مساوی عدد داده شده است.

نکته: اگر بخواهیم جذر یک عدد اعشاری را امتحان کنیم، در مورد قسمت الف قبل از درج ممیزها، امتحان جذر را انجام می‌دهیم.

---

þ تست۱ :

در یک عمل جذرگیری تقریبی از یک عدد، امتحان آن به صورت ۲۳<1+12×۲ شده است. آن عدد کدام گزینه می‌تواند باشد؟

حل :

گزینه “د” صحیح می‌باشد.

---

þ تست۲ :

جذر مثبت حاصل ضرب دو عدد ۷^۲ ×۵ ×۲^۳ و ۱۱^۲×۵^۳×۲ برابر است با:

حل :

گزینه الف صحیح می‌باشد.

---

þ تست۳ :

حاصل کدام است؟

حل :

گزینه ب صحیح است.

---

þ تست۴ :

در کدام گزینه همواره بزرگ تر از a می‌شود؟

حل :

گزینه د صحیح است.

عدد a منفی نیست، زیرا اعداد منفی جذر حقیقی ندارد.

---

þ تست۵ :

حل :

گزینه ج صحیح است.

---

þ تست۶ :

در معادله توانی مقابل مقدار x کدام است

حل :

گزینه ج صحیح است:

منبع:http://netv.ir/%D9%86%D8%AD%D9%88%D9%87-%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B3%D8%A8%D9%87-%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%DA%A9%D8%A7%D9%84-%D8%AC%D8%B0%D8%B1-%D8%A8%D8%AF%D9%88%D9%86-%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%AF%D9%87-%D8%A7/

[ بازدید : 382 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]