ماشين حساب را بگذاريد كنار و اعمال رياضي را با راه هاي ابتكاري انجام دهيد و از اين كار لذت ببريد! / مارتين گاردنر

http://www.hamshahrionline.ir/newspaper-arch/vijenam/javan/1385/850528/007389.jpg

محمد كياسالار
مي گويند ذهن آدم مثل عضلاتش عاشق ورزش است و همان طور كه هر چه بيشتر از عضلاتتان كار بكشيد ورزيده تر مي شوند، از ذهنتان هم هر چه بيشتر كار بكشيد حاضر به يراق تر مي شود و چالاك تر. اين را اگر مفروض بگيريد، آن وقت حرف هاي مارتين گاردنر توجيه دارد: دوستي با اعداد باعث مي شود ماشين حساب را بگذاريد كنار و مثلا حاصل ضرب دو عدد سه رقمي را از چهار پنج راه ابتكاري و غيرمعمول حساب كنيد و از اين كار لذت ببريد! حداقل فايده اش اين است كه ذهنتان ورزيده تر مي شود. قبول نداريد؟

يك جمع و تفريق ساده، نيازي به ماشين حساب ندارد. اما بيشترمان در زندگي ماشيني امروز، عادت كرده ايم براي هر محاسبة ساده اي متوسل شويم به ماشين حساب. مارتين گاردنر توصيه مي كند لااقل براي مدتي هم كه شده، ماشين حساب را كنار بگذاريد و عجالتا برويد سراغ قلم و كاغذ. او قول مي دهد بعد از مدت كوتاهي كه چند فوت و فن ساده محاسباتي را ياد بگيريد و با اعداد دوست شويد، ذهنتان قلم و كاغذ را هم جواب مي كند و خودش مي شود يكه تاز ميدان. برخي تكنيك هاي ساده اي كه او در شروع كار پيشنهاد مي كند، از اين قرارند:

تكنيك چينش مجدد اعداد
اين تكنيك به شما ياد مي دهد قبل از اين كه شروع كنيد به يك جمع و تفريق ساده، اول نگاهي بيندازيد به صورت مسألة تان و ببينيد آيا مي شود اين كار را ساده تر هم انجام داد يا نه. مثلا فرض كنيد كه قرار است اعداد زير را با هم جمع كنيد:
۱+3+2+5+4+7+6+9+8
يك راهش اين است كه درست همان طوري كه در صورت مسألة تان نوشته شده، شروع كنيد به جمع كردن اعداد از چپ به راست، يعني بگوييد 9+8 مي شود 17و آن هم به علاوه 7 مي شود 24و... همين شيوه را ادامه بدهيد تا برسيد به جواب آخر. اما يك چينش مجدد و البته منظم، كارتان را به مراتب راحت تر مي كند. مثلا مي توانيد بنويسيد:
۵+6+4+7+3+8+2+9+1
در چينش جديد، همان طور كه مي بينيد، از چپ به راست با اعدادي مواجه ايد كه اگر دو به دو با هم جمع شوند، حاصلشان مي شود 10 و اين طوري، فقط يك 5 در انتهاي سمت راست تنها مي ماند. يعني:
۵+10+10+10+10
كه مي شود همان 45.

تكنيك چينش نزولي
يكي از روش هاي چينش اعداد هنگام يك جمع ساده، چينش نزولي است. مثلا فرض كنيد كه قرار است اعداد زير را با هم جمع كنيد:
۱۱۰۰۰۰۰
۲۷۰۰۰۰+
۳۳۰۰۰۰۰+
۳۰۰۰۰+
ـــــــــــــ
اگر چه به همين ترتيب هم مي شود اين اعداد را با هم جمع كرد، اما خيلي ساده تر و كم خطاتر است اگر آن ها را به صورت نزولي زير هم بنويسيد:
۳۳۰۰۰۰۰
۱۱۰۰۰۰۰+
۲۷۰۰۰۰+
۳۰۰۰۰+
ـــــــــــــ
و باز هم ساده تر مي شود، اگر دو عدد بالايي را با هم جمع كنيد (4400000) و دو عدد پاييني را هم با هم (300000) و حالا مجموع اين دو حاصل جمع را حساب كنيد (4700000).
نوعي ديگر
مارتين گاردنر توصيه مي كند گاهي از دوران درس و مدرسه فاصله بگيريم و از خودمان بپرسيم، آيا اين مسألة به جز فلان راه حل مدرسه اي، راه حل ديگري هم دارد؟ مثلا مي گويد: ما هميشه عادت كرده ايم عمل ضرب را از راست به چپ انجام بدهيم. خب، مي توانيم از خودمان بپرسيم: يعني از چپ به راست نمي شود؟ مثلا فرض كنيد:
۸۴۱
۷۴ *
ــــــ
۳۳۶۴
۵۸۸۷+2
ــــــ
۶۲۲۳۴=
او توصيه مي كند همين حاصل ضرب را يك بار هم از چپ به راست امتحان كنيم. مثلا فرض كنيد مي خواهيم 42 را در 29 ضرب كنيم، از چپ به راست:
۴۲
۲۹*
ـــــــــــــ
۴۰*۲۰= 800
۴۰*۹= 360+2
۲*۲۰= 40+2
۲*۹= 18+2
ــــــــــــ
۱۲۱۸=

و حالا برگرديم به همان مثال قبلي:
۸۴۱
۷۴*
ــــــــــــــــ
۸۰۰*۷۰= 56000
۸۰۰*۴= 3200+2
۴۰*۷۰= 2800+2
۴۰*۴= 160+2
۱*۷۰= 70+2
۱*۴= 4+2
ــــــــــــــــ
۶۲۲۳۴=
مارتين گاردنر معتقد است گاهي حداقل فايدة چنين روش هايي اين است كه به كمك آن ها مي توانيم جوابي را كه از روش معمول به دست آورده ايم، چك كنيم.


http://www.hamshahrionline.ir/newspaper-arch/vijenam/javan/1385/850528/007386.jpg

اعداد آشنا
كدام يك به نظرتان ساده تر است: حاصل جمع (79+87) يا حاصل جمع (80+86)؟ احتمالا مي گوييد (80+86). مي دانيد چرا؟ چون به تجربه فهميده ايد وقتي با يك عددي مواجه ايد مثل۸۰ يا 90 و يا هر عدد ديگري كه به صفر ختم مي شود، كارتان در جمع و تفريق آسان تر و بي دردسرتر است. در جمع (80+ 86 ) خيلي سريع مي توانيم توي ذهنمان 80 را با 80 جمع كنيم (160) و 6 تا به اش اضافه كنيم: (166). همان طور كه مي بينيد جمع 87 و 79 هم مي شود همان 166. ولي قضيه اين است كه ما تا آن جا كه مي توانيم، بهتر است توي ذهنمان اعداد را به اعداد آشناتري تبديل كنيم و منظورمان از اعداد آشنا (در اين جا) همان اعدادي است كه به صفر ختم مي شوند. در جمع 87 و 79 كافي است پيش خودتان بگوييد من يك واحد به 79 اضافه مي كنم تا بشود يك عدد آشنا (80) و در ازاي آن يك واحد از 87 كم مي كنم تا آن واحد اضافي جبران شود (مي شود 86) و حالا حاصل جمع را حساب كنيد.
راه ديگرش هم اين است كه از همان ابتدا توي ذهنتان يك واحد به 79 اضافه كنيد تا عددتان آشنا شود (80) و بعدش از حاصل جمع نهايي (يعني 167) يك واحد كم كنيد تا آن واحد اضافي جبران شود و برسيد به جواب مورد نظرتان (166).
اين قاعده در ضرب هم قابل استفاده است. مثلا فرض كنيد كه مي خواهيد 300 را در 70 ضرب كنيد. طبيعتا ساده است. چون هر دو عدد جزو اعداد آشنا هستند (هر دو به صفر ختم شده اند) 3 را در 7 ضرب مي كنيد و سه تا صفر مي گذاريد جلويش، مي شود 21000. اما حالا فرض كنيد كه مي خواهيد 302 را در 69 ضرب كنيد و از راهي به جز راه معمول استفاده كنيد. خيلي ساده مي توانيد هر دو عدد را به اعداد آشنا تبديل كنيد: (2-300) و (1-70):
۳۰۲*۶۹= (2-300) * (1-70)
كه مي شود:
۳۰۰*۷۰= 21000
۳۰۰*(1-1)= 300-0
۲*۷۰= 140+1
۲*(1-1)= 2-2
ــــــــــــــ
۲۰۸۳۸=
اگر چه با هم قرار گذاشته بوديم فقط به اعدادي كه به صفر ختم مي شوند، بگوييم اعداد آشنا؛ اما اعداد ديگري هم هستند كه نسبتا آشنا محسوب مي شوند. مثلا كدام اعداد؟ آن هايي كه بر 100 بخش پذيرند. با اين حساب، عددي مانند 25 يك عدد نسبتا آشناست، چون از تقسيم 100 بر 4 به دست مي آيد. يعني اگر به ما بگويند فلان عدد را در 25 ضرب كن، مي توانيم آن عدد را در 100 ضرب كنيم (دو تا صفر بگذاريم جلوي آن عدد) و بعد، تقسيمش كنيم بر 4. با اين حساب مي شود اسم عددي مانند 75 را هم بگذاريم: آشناي دور؛ خب، به هر حال 75 با 25 آشناست و 25 هم كه خودش نسبتا آشناست، پس مي شود به 75 بگوييم آشناي دور. قبول؟
حالا اگر برگرديم به همان مثال اولمان، يعني: (841*۷۴) مي توانيم 74 را عجالتا تبديل كنيم به 75 كه يك آشناي دور است و بعدا دوباره با 75 تسويه حساب كنيم. مي پرسيد چطور؟ ببينيد:
۸۴۱*۷۵
= 841*۲۵*۳
= 2523*۲۵
= (2523*۱۰۰)÷۴
= 63075
اما لابد يادتان مانده كه اين عدد از ضرب يك واحد اضافي (يعني۷۵ به جاي 74) در 841 به دست آمده، با اين حساب مي توانيم عدد به دست آمده را منهاي 841 كنيم و برسيم به جواب مورد نظرمان:
=841 - 63075
= 62234
از همين روش اعداد آشنا مي توانيم در ضرب و تقسيم هاي سادة ديگر هم استفاده كنيم. مثلا اگر بخواهيم عددي را در 5 ضرب كنيم، ساده تر اين است كه اول آن عدد را در 10 ضرب مي كنيم (يك صفر بگذاريم جلوي آن عدد) و بعدش آن عدد را نصف مي كنيم. مثلا براي محاسبة ذهني 385 * 5 مي توانيم 3850 را در ذهنمان تقسيم بر 2 كنيم كه مي شود 1925. يا اگر بخواهيم عددي را تقسيم بر 25 كنيم، مي توانيم به جاي اين كار، آن عدد را در 4 ضرب كنيم و بعدش تقسيم بر 100 كنيم. مثلا:
۲۵÷۲۱۷ = 100÷(4*۲۱۷)
۱۰۰÷۸۶۸ = 68/8

اگر به دنبال محاسبة دقيق نباشيد و فقط بخواهيد تخمين بزنيد، مي توانيد اعداد حوالي 100 را دقيقا 100 در نظر بگيريد، مثلا به جاي 3*۳۳ كه مي شود 99 و يا به جاي 17*۶ كه مي شود 102 مي توانيد 100 در نظر بگيريد، تا محاسبه تان راحت تر شود. با اين كار تعداد آشنايانتان در دنياي اعداد، بيشتر و بيشتر مي شود.

منبع:http://www.daneshju.ir

[ بازدید : 281 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

[ بازدید : 210 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

ادامه مطلب

چگونه ریاضی را یاد بگیریم؟

بیشتر افراد قادرند ریاضی را یاد بگیرند و از آن لذت ببرند. این امر تنها مستلزم علاقمندی دانش آموز است چرا که این درس بیشتر از سایر دروس، نیازمند روش مطالعه خاص خود را دارد...

- «من در درس ریاضی خیلی ضعیف هستم؛ اصلاً از ریاضی متنفرم.»

این جملات حرف‌هایی است که نیما با اکراه بر زبان می‌آورد و با وجود این که والدین برای درس ریاضی او معلم خصوصی گرفته بودند؛ اما علاقه نیما به این درس بیشتر نشده بود!؟

آری، سال‌هاست ریاضیات به عنوان درسی كه فراگیری آن دشوار می‌باشد شهرت یافته است. گروه بسیاری از دانش آموزان در آموختن ریاضیات با مشكلات جدی مواجه هستند و گروهی نیز به راهنمایی‌های آموزشگران نیاز دارند. ولی باید بدانید که بیشتر افراد قادرهستند ریاضی را یاد بگیرند و از آن لذت ببرند. این امر تنها مستلزم علاقمندی دانش آموز است چرا که این درس بیشتر از سایر دروس، نیازمند روش مطالعه خاص خود را دارد.

کسانی که در ریاضی ضعیف هستند دو دسته‌اند:

دسته اول کسانی هستند که برای خواندن ریاضی وقت می‌گذارند؛ اما چون روش‌های صحیح مطالعه و یادگیری این درس را نمی‌دانند از وقتی که می‌گذارند نتیجه نمی‌گیرند!

دسته دوم نیز دانش آموزانی هستند که برای درس خواندن اصلاً وقتی نمی‌گذارند؛ اگر آن‌ها کمی حساب و کتاب کنند می‌بینند که برای همه چیز وقت می‌گذارند. پس اگر واقعاً می‌خواهید چیزی یاد بگیرید- چه ریاضی و یا هر درس دیگر- لازم است مقداری از وقت خود را به درس خواندن اختصاص دهید. مشکل اصلی دسته دوم اینست که یا به این کار اهمیتی نمی‌دهند یا علاقه ندارند.

[ بازدید : 225 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

ادامه مطلب

رياضي هيولا نيست

رياضي هيولا نيست

کيوان بالاسرايي

اشاره:

رياضي... ­ اين همان درسي­ست که هر وقت اسمش آمد، همچين بفهمي نفهمي حال همه‌مان يک جوري شد!

همان درسي­ست که تا فصل امتحانات رسيد، با خودمان گفتيم: «تمام درس­ها يک طرف؛ رياضي هم يک طرف!»

چرا تقريباً همه ما انقدر از رياضي مي‌­ترسيم؟

آيا واقعاً استعداد نداريم؟

ايراد از ماست يا از رياضي؟!

* چرا رياضي را سخت ياد مي‌گيريم؟

دليل اول اين است كه بعضي معلم‌ها رياضي را هم سخت جلوه مي‌دهند و هم سخت آموزش مي‌دهند. اگر بچه‌ها روز اول به‌خوبي با رياضي آشنا شوند و مسئله‌ها را خوب ياد بگيرند، متوجه مي‌شوند رياضي سخت نيست. در صورتي‌كه بچه‌ها با رياضي مثل غول برخورد مي‌كنند.

دليل ديگر اين‌كه اغلب كلاس‌هاي رياضي، كلاس‌هاي پويايي نيستند و شيوه تدريس به شكلي نيست كه بچه‌ها از رياضي و حل مسئله لذت ببرند. البته معلم‌هايي هستند كه كلاس را پويا و شاد و پر انرژي اداره مي‌كنند و بچه‌ها با انرژي در فراگيري و حل مسئله مشاركت دارند، اما گاهي معلم‌ها درس را روي تخته مي‌نويسند و توضيح مي‌دهند و كلاس تمام مي‌شود.

* آيا دانش‌آموزي هست كه استعداد رياضي نداشته باشد؟

همه آدم‌ها استعداد رياضي دارند، اما حد و حدود اين استعدادها كمي متفاوت است. دانش‌آموز بي‌استعداد وجود ندارد.

* پس ايراد کار کجاست؟

ايراد اول اين است كه بچه‌ها خودشان را باور نمي‌كنند و نسبت به توانايي‌هاي‌شان بي‌اعتمادند.

ايراد دوم اين است كه اغلب بچه‌ها با «پيش‌زمينه» و «پيش‌فرض منفي» با رياضي برخورد مي‌كنند.

مثلاً دانش‌آموزي از خواهر يا برادر بزرگ‌ترش شنيده كه «رياضي خيلي سخته» و... اين دانش‌آموز هم با همين ديد با رياضي روبه‌رو مي‌شود، در صورتي‌كه شايد او در درس رياضي از خواهر يا برادرش قوي‌تر باشد.

* بعضي از بچه‌ها به رياضي علاقه‌اي ندارند ... اما مجبور هستند حداقل براي گرفتن نمره، رياضي بخوانند. چه راهي براي حل اين مسئله هست؟

روان­شناسان معتقدند اگر نمي‌توان با موضوعي ارتباط برقرار كرد، بايد با آن روبه‌رو و درگير شد؛ يعني موضوع را خوب بشناسيم، به آن نزديك شويم و راهي براي غلبه بر آن و برطرف‌كردن مشكل پيدا كنيم. هراس و فرار از موضوع، مشكل ما را بيش‌تر مي‌كند.

مثلاً هندسه، يك درس شهودي‌است که مي‌توانيم با ديدن يك ساختمان، مثلاً از نظر طراحي، به شكل‌هاي هندسي آن دقت كنيم و از آنچه در كتاب‌ها خوانده‌ايم، استفاده كنيم.

يا شما مي‌توانيد به سادگي در كارهاي روزمره زندگي از مبحث «احتمال» كمك بگيريد.

مثلاً حساب كنيد كه روز 13 هر ماه به چه روزي در هفته مي‌افتد... يا مثلاً احتمال‌هاي ساده مثل سكه، تاس، يا اين‌كه اگر خانواده‌اي يك فرزند داشته باشد، آن فرزند دختر است يا پسر و هزاران هزار مطلب ديگر... مسئله‌هاي زيادي در رياضي است كه مي‌توان در جهان واقعي از آنها استفاده كرد.

* آيا مي‌شود براي همه معلم‌هاي رياضي يك خصوصيت مشترك در نظر گرفت و گفت همه معلم‌هاي رياضي خشك و بداخلاق هستند؟

اصلاً... نمونه‌هاي زيادي هستند كه اين نظر را نقض مي‌كند.

همه ما معلم‌هاي زيادي را مي‌شناسم كه شاد و پرانرژي و مهربان هستند.

مهم‌ترين مسئله در يادگيري دانش‌آموز، برقراري ارتباط با معلم است. نحوه ارتباط دانش‌آموز و معلم در ميزان علاقه و گرايش و موفقيت دانش‌آموز در درس بسيار مؤثر است.

* چرا وقتي با پدر و مادرمان رياضي تمرين مي‌كنيم، دعوايمان مي‌شود؟

مشكل پدر و مادرها اين است كه اول فقط به نمره فكر مي‌كنند و عموماً معتقدند كه اگر نمره فرزندشان در رياضي 16 شده، فرزندشان خنگ است.

دوم اين‌كه اصلاً با حوصله برخورد نمي‌كنند. يعني به محض اين‌كه بچه‌ها مسئله را غلط حل كنند، پدر يا مادر به او مي‌گويد: «غلط حل كردي، راه حلش اينه كه من مي‌گم. اينم جوابش»

در صورتي‌كه بايد با صبر و حوصله بچه‌ها را در مسير رسيدن به جواب همراهي و راهنمايي كرد و اگر پاسخ درست نبود او را در رسيدن به پاسخ درست كمك كنند و اجازه بدهند كه او متوجه اشتباه خود بشود و به جواب درست برسد.

* ...

در مورد درس رياضي و استرس‌هاي خاص آن تا به حال زياد شنيده و خوانده‌ايد. تمام احتمالات و راه‌ حل‌هاي کاهش اين استرس را هم بررسي کرديم. اما خود اين هم استرس‌زا است.

رياضي هم درسي‌ست مثل ساير درس‌ها با 20 نمره.

همين...

منبع:http://didar.nashriyat.ir

[ بازدید : 230 ] [ امتیاز : 2 ] [ نظر شما : ]

خبرگزاری ایسنا: كلاس درس ریاضی برای برخی دانش آموزان ازجمله كلاس‌هایی است كه معادلات و مفاهیم آن سخت است و دیر تمام می‌شود و حضور در این كلاس‌ها برای این دانش‌آموزان جذابیت لازم را ندارد.

این‌كه چرا برخی دانش آموزان با درس ریاضی مشکل دارند؟ موضوعی است كه درباره آن با استادان دانشگاه و نخبگان گفتگو کرده‌ایم.

[ بازدید : 503 ] [ امتیاز : 1 ] [ نظر شما : ]

ادامه مطلب

[ بازدید : 388 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

http://0up.ir/do.php?filename=pol-vatson_24c96.doc

[ بازدید : 612 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

عدد صحیح

---

به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند:
::{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است.
این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.
شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.

---

ویژگی‌های جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است.
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

جمع ضرب بسته بودن a × b یک عدد صحیح است a+b یک عدد صحیح است شرکت پذیری a + (b + c) =(a + b) + c a × (b × c)=(a × b) × c جابجایی a+b = b+a a×b = b×a عضو همانی a+0 = a a×1 = a وارون a+ (−a) = 0 ندارد توزیع پذیری (a×(b + c) = (a × b)+(a × c

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند.

---

اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی‌مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد.

---

تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی

می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم.
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعریف می‌کنیم:
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b
رابطه‌ی فوق یک رابطه‌ی هم‌ارزی است.

به مجموعه‌ی کلاس های هم ارزی رابطه‌ی هم‌ارزی ~ ، اعداد صحیح می‌گویند.

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم‌ارزی.
مثلا 3=کلاس هم‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }.
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش می‌دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند.

---

همچنین ببینید:

• نمایش دودویی عدد صحیح
• عدد طبیعی
• ZFC

---

پیوندهای خارجی

http://web01.shu.edu/projects/reals/logic/numbers.html

منبع:رشد

[ بازدید : 256 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما : ]

اعداد اول:

به عنوان مثال اعداد 2و3و5و7 اول و اعداد 12و18و325 مرکب می باشند.

• لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.

---

اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:

• نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

---

• حال به بیان چند قضیه مهم در باره اعداد اول می پردازیم:
• قضیه 1) هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است.

برهان:
فرض می کنیم a عددی صحیح باشد که مخالف یک و منفی یک است. اگر a=0 باشد در این صورت تمامی اعداد صحیح از جمله اعداد اول a را می شمارند و حکم برقرار است. حال فرض می کنیم a مخالف صفر باشد و نشان می دهیم a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است. برای این منظور مجموعه مقسوم علیه های مثبت و بزرگتر از یک a را به این صورت تعریف میکنیم:
مجموعه S ناتهی است چرا که:
پس:. از طرفی دیگر مجموعه S زیرمجموعه اعداد طبیعی است پس بنابر اصل خوشترتیبی S دارای عضو ابتدا(مینیمم) چون P است.
نشان می دهیم که P عددی اول است. برای اثبات ادعا از برهان خلف استفاده می کنیم:
به برهان خلف فرض می کنیم P عددی اول نباشد، پس P عددی مرکب است لذا:
,این نتیجه می دهد:
از طرفی دیگر: که این نتیجه می دهد:.
و این با مینیمم بودن P در تناقض است چون: و لذا فرض خلف باطل و چنین نیست که P اول نباشد پس P اول است. به این ترتیب نشان داده شد عدد a حد اقل یک مقسوم علیه اول دارد.

• قضیه 2) بی نهایت عدد اول وجود دارد.

برهان:
برای اثبات این قضیه از برهان خلف استفاده می کنیم. به برهان خلف فرض می کنیم تعداد اعداد اول متناهی باشد و به فرض تنها اعدد اول موجود باشند. قرار می دهیم:

بوضوح M بزرگتر از یک و طبیعی است پس بر طبق قضیه قبل می توان گفت M دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است و چون تعداد اعداد اول موجود محدود است آن مقسوم علیه اول یکی از اعداد است به فرض عضوی چون: داریم:

که این با اول بودن در تناقض است چون نه اول و نه مرکب است . و لذل فرض خلف باطل و حکم برقرار است و تعداد اعداد اول بی شمار است.

• لازم به توضیح است که این قضیه نخستین بار توسط اقلیدس در حدود سال 300 قیل از میلاد اثبات گردیده است.
• قضیه 3) هر عدد مرکب n دارای حداقل یک مقسوم علیه اول کوچکتر یا مساوی است.

برهان
چون n مرکب است پس:
حال نشان می دهیم که:
به برهان خلف اگر: آنگاه و در نتیجه: که این تناقض است و لذا فرض خلف باطل و حکم برقرار است یعنی: حال چون a بزرگتر از یک است پس a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول مانند p است. داریم:

و از سوی دیگر:
پس p عددی اول است که در شرایط قضیه صدق می کند و لذا حکم برقرار است.

• لازم به توضیح است که قضیه فوق اساس روش غربال اراتستن است.

• قضیه4) اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد. (قضیه چپیشف)

---

• قضیه بنیادی حساب:

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت.
به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشد:
که در آن ها اعداد اول متمایر می باشند.
این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.

همچنین اگر n<-1 باشد باز هم می توان n را به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت:

که در آن ها اعداد اول متمایز می باشند.

• توجه: اگر n=1 باشد آنگاه که در ان P هر عدد اولی است.
• لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:12=2×2×3

تجزیه استاندارد یک عدد:
اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت:

که در آن ها اعداد اول متمایز و اعداد طبیعی اند.
این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.

• توجه: بزرگترین توان که: را به صورت می دهند.

به عنوان مثال تجزیه استاندارد 12 به عوامل اول به صورت مقابل است:

منبع:رشد

[ بازدید : 207 ] [ امتیاز : 3 ] [ نظر شما :

]